Περιγραφή θέματος
Σχετικά με το μάθημα
Το μάθημα αποτελείται από δύο ενότητες: τη Μαθηματική Ανάλυση και τη Γραμμική Άλγεβρα.
Η ενότητα της Μαθηματικής Ανάλυσης ασχολείται κυρίως με τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό συναρτήσεων μίας μεταβλητής, και η ενότητα της Γραμμικής Άλγεβρας με τη θεωρία πινάκων, του διανυσματικούς χώρους καθώς και την αναλυτική γεωμετρία του χώρου. Το περιεχόμενο του μαθήματος αναφέρεται αναλυτικά πιο κάτω.
Για την επιτυχία στο μάθημα υπάρχει ελάχιστη επίδοση και στις δύο ενότητες του μαθήματος. Εκτός αν ανακοινωθεί διαφορετικά, στην εξέταση θα πρέπει να εξασφαλίσετε τουλάχιστον το 40% των μονάδων σε κάθε ενότητα και τουλάχιστον το 50% των συνολικών μονάδων.
Διδάσκοντες
-- Κ. ΠΑΥΛΟΠΟΥΛΟΥ, Ε.ΔΙ.Π., ΓΡΑΦΕΙΟ 3.17 (ΚΤΗΡΙΟ Ε/ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ/Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Γ' ΟΡΟΦΟΣ) E-MAIL: pavlopoulou@math.ntua.gr, Τηλ. 210-7721756-- Β. ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ, ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, ΓΡΑΦΕΙΟ 3.09 (ΚΤΗΡΙΟ Ε/ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ/Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Γ' ΟΡΟΦΟΣ) E-MAIL: vgregoriades@mail.ntua.gr, Τηλ. 210-7721763-- Γ. ΜΑΝΟΥΣΑΚΗΣ, Ε.ΔΙ.Π., ΓΡΑΦΕΙΟ 2.06 (ΚΤΗΡΙΟ Ε/ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ/Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Β' ΟΡΟΦΟΣ) E-MAIL: gmanous@math.ntua.gr, Τηλ. 210-7721716Περιεχόμενο
Στις ενότητες του μαθήματος διδάσκονται τα ακόλουθα στοιχεία.
Ενότητα Μαθηματικής Ανάλυσης
Μαθηματική Επαγωγή.
Πραγματικοί αριθμοί, ακολουθίες πραγματικών αριθμών, ακολουθιακή πληρότητα. Όριο ακολουθίας, κριτήρια σύγκλισης.
Σειρές πραγματικών αριθμών, κριτήρια σύγκλισης.
Πραγματικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης, βασικά θεωρήματα.
Παράγωγος συνάρτησης, βασικά θεωρήματα, ο τύπος του Taylor. Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Maclaurin.
Παράγουσα, αόριστο ολοκλήρωμα, βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης: παραγοντική ολοκλήρωση, μέθοδος της αντικατάστασης, ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, τριγωνομετρικά ολοκληρώματα.
Ολοκλήρωμα Riemann πραγματικής συνάρτησης, ορισμός, παραδείγματα και βασικές ιδιότητες. Συνέχεια και ολοκληρωσιμότητα, βασικά θεωρήματα. Θεμελιώδες Θεώρημα Διαφορικού Λογισμού.
Γενικευμένα ολοκληρώματα α’ και β' είδους: ορισμός, απλή και απόλυτη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος. Βασικά κριτήρια σύγκλισης: κριτήριο άμεσης και οριακής σύγκρισης και ολοκληρωτικό κριτήριο.
Ενότητα Γραμμικής Άλγεβρας
(α) Διανυσματικός Λογισμός και Αναλυτική Γεωμετρία του χώρου(β) Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Αναλυτικότερα η ύλη μπορεί να περιγραφεί ως εξής:
Εισαγωγή στα διανύσματα, διανυσματικά γινόμενα. Η ευθεία και το επίπεδο στο χώρο και εφαρμογές. Σφαίρα, κυλινδρικές και κωνικές επιφάνειες. Επιφάνειες δευτέρου βαθμού, προβολή καμπύλης του χώρου στα επίπεδα συντεταγμένων. Εισαγωγή στους πίνακες. Ορίζουσες, βαθμός πίνακα. Γραμμικά συστήματα, μέθοδος απαλοιφής του Gauss, μέθοδος Cramer, αντιστροφή πίνακα. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Γραμμική θήκη, γραμμική εξάρτηση-ανεξαρτησία, βάση διανυσματικού χώρου, πίνακας αλλαγής βάσης. Γραμμικές απεικονίσεις (ορισμός, πυρήνας, εικόνα, πίνακας). Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, παραδείγματα. Χαρακτηριστικά ποσά (ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα). Διαγωνοποίηση πίνακα, θεώρημα των Cayley–Hamilton. Ορθογώνιοι και συμμετρικοί πίνακες. Τετραγωνικές μορφές και εφαρμογές.Εξεταστέα Ύλη
Ακαδημαϊκό έτος 2021-2022
Ενότητα Μαθηματικής Ανάλυσης
Ακολουθίες πραγματικών αριθμών, όριο και βασικές ιδιότητες, αξιοσημείωτα όρια και βασικά κριτήρια σύγκλισης. Σύγκλιση φραγμένων μονότονων ακολουθιών κι εφαρμογές σε ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικά.
Σειρές πραγματικών αριθμών, ορισμός και βασικές ιδιότητες. Aπόλυτα συγκλίνουσες σειρές. Βασικά κριτήρια σύγκλισης: λόγου, ρίζας, άμεσης και οριακής σύγκρισης, ολοκληρωτικό κριτήριο, κριτήριο του Leibniz.
Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και παράγωγοί τους.
Παράγουσα συνάρτησης, αόριστο ολοκλήρωμα, βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης: παραγοντική ολοκλήρωση, μέθοδος της αντικατάστασης, ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, τριγωνομετρικά ολοκληρώματα.
Δυναμοσειρές, ακτίνα και διάστημα σύγκλισης. Γεωμετρική δυναμοσειρά. Παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειράς. Αναπτύγματα σε δυναμοσειρά των συναρτήσεων exp(x), sinx, cosx, ln(1+x) κι εφαρμογές.
Θεώρημα Taylor κι εφαρμογές.
Γενικευμένα ολοκληρώματα α' είδους - βασικά κριτήρια σύγκλισης.
Ενότητα Γραμμικής Άλγεβρας
Πίνακες, είδη πινάκων, πρόσθεση και πολλαπλασιασμός πινάκων, πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα, βασικές ιδιότητες. Τύποι πινάκων. Ανάστροφος ενός πίνακα. Ίχνος πίνακα. Αντιστρέψιμοι πίνακες.
Ορίζουσες, βασικές ιδιότητες, μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών.
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων ομογενή και μη ομογενή. Επίλυση συστήματος με απαλοιφή Gauss και ανάδρομη αντικατάσταση, διαδικασία Gauss-Jordan. Μέθοδος Cramer. Εύρεση αντίστροφου πίνακα. Πίνακες σε κλιμακωτή μορφή και ανηγμένη κλιμακωτή μορφή, βαθμός πίνακα.
Χαρακτηριστικά ποσά (ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα). Διαγωνοποίηση πίνακα. Θεώρημα Cayley-Hamilton.
Διανυσματικοί χώροι. Διανυσματικοί Υπόχωροι. Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων. Γραμμική θήκη. Γραμμική εξάρτηση/ανεξαρτησία. Βάση, διάσταση ενός διανυσματικού χώρου.
Διανύσματα, ορισμοί, βασικές ιδιότητες. Εσωτερικό γινόμενο, εξωτερικό γινόμενο, μικτό γινόμενο. Καρτεσιανή εξίσωση επιπέδου. Απόσταση σημείου από επίπεδο. Ασύμβατες ευθείες (στον χώρο). Απόσταση παράλληλων ευθειών.
Βιβλιογραφία
Από την ηλεκτρονική υπηρεσία «Εύδοξος»:
1) Μαθήματα Ανάλυσης και Γραμμικής Άλγεβρας, Κραββαρίτης Δ., Εκδ. Τσότρας, 2018.
2) Ανάλυση, Τόμος Ι, Παντελίδης Γεώργιος Ν., Εκδ. Ζήτη, 2008.
3) Μαθηματικά Ι β έκδοση, Ρασσιάς Θ., Εκδ. Τσότρας, 2017.
4) Μαθηματική Ανάλυση Ι, Τσεκρέκος Παναγιώτης Χ., Εκδ. Αθανασόπουλος, 2008.
5) Γραμμική Άλγεβρα Αναλυτική Γεωμετρία και Εφαρμογές, Καδιανάκης Ν. Καρανάσιος Σ., Εκδ. Τσότρας, 2017.
6) Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία, Φελλούρης Α., Εκδ. Τσότρας, 2017.
7) Γραμμική Άλγεβρα 2η έκδοση, Παντελίδης Γ. Κραββαρίτης Δ. Νασόπουλος Β. Τσεκρέκος Π., Εκδ. Τσότρας, 2015.
Πρόσθετο Υλικό
Έγγραφα
ΛΥΣΕΙΣ_ΘΕΜΑΤΩΝ_ΑΝΑΛΥΣΗΣ_ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ_ΕΞΕΤΑΣΗΣ_.pdf
ΔΗΛΩΣΕΙΣ_-ΚΑΤΑΝΟΜΗ_-ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ_2020.xls