Περιγραφή θέματος

  • ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

    Σύμπτυξη όλων Ανάπτυξη όλων

    Το  μάθημα προσφέρεται από τα δύο ΠΜΣ του Τομέα Μαθηματικών και συνδιδάσκεται με το προπτυχιακό μάθημα ''Συναρτησιακή Ανάλυση 2''.

    Διδάσκων: 

    Γ. Σμυρλής - Αναπλ. Καθηγητής

    Γραφείο: 2.20, Κτήριο Ε

    Τηλ. 210 -7721711

    e-mail: gsmyrlis@math.ntua.gr

    Πρόγραμμα διδασκαλίας:

    Τρίτη 8:45 - 10:30,  Κτήριο Ε, ΑΜΦ 3

    Πέμπτη  10:45 - 12:30,  Νέο Κτήριο ΣΕΜΦΕ,  Αίθουσα 107.

    Τρόπος εξέτασης:

    Μία τελική εξέταση.

  • ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ

    1. Eπισκόπηση βασικών εννοιών και αποτελεσμάτων από τη Γενική  Τοπολογία.

    2.      Τοπολογικοί γραμμικοί χώροι.

    Βασικές έννοιες και  ιδιότητες. Ύπαρξη τοπολογίας γραμμικού χώρου που έχει ως  βάση περιοχών του 0 δοσμένη κλάση συνόλων με  κατάλληλες ιδιότητες.

    Τοπολ. γραμμ. χώροι πεπερασμένης διάστασης 

    3.      Γενικά για ασθενείς τοπολογίες.

    Ασθενής τοπολογία  που επάγεται σε γραμμικό χώρο  από κλάση  γραμμικών συναρτησιακών που διαχωρίζει σημεία - Βασικές ιδιότητες.  

    4.      Θεωρήματα Hahn-Banach.

    Θετικά υπογραμμικά συναρτησιακά -Συναρτησιακό Minkowski και βασικές ιδιότητες .  Αναλυτική μορφή Θ. Hahn-Banach και συνέπειες.  Οι δύο μορφές των Γεωμετρικών Θ. Hahn-Banach σε τοπολογικούς γραμμ. χώρους .

    5.      Ασθενής \( (w) \) τοπολογία ενός χώρου με νόρμα  \( (X, \| \cdot \| ) \).  

    Ορισμός και βασικές ιδιότητες. 

    --Χαρακτηρισμός  \( w \) -σύγκλισης στο χώρο \( X \)  και ειδικότερα σε χώρο Hilbert .

    --Θ. Mazur.

    --Μελέτη της μετρικοποιησιμότητας των τοπολ.  χώρων \( (X, w), (A, w) \), όπου  \( A    \| \cdot \| - \)  φραγμένο υποσύνολο  του \( X \) .

    --Ιδιότητα Schur του χώρου  \( l^1 \) .

    6.      Θ. Eberlein-Smulian.

    7      Ασθενής*  ( \( w^* \) )  τοπολογία του δυϊκού    ενός χώρου με νόρμα.

    Ορισμός και βασικές ιδιότητες. Ομοιότητες και διαφορές με την   \( w - \)τοπολογία  -παραδείγματα. Θεωρήματα Goldstine και Αλάογλου.

    8.      Ανακλαστικοί χώροι Banach.

    Ορισμός –Χαρακτηρισμός μέσω της  \( w - \)συμπάγειας της μοναδιαίας μπάλας και ακολουθιακός χαρακτηρισμός.  Ανακλαστικότητα κλειστών υπόχωρων και του  δυϊκού ενός ανακλαστικού χώρου. Παραδείγματα μη ανακλαστικών χώρων. Ανακλαστικότητα χώρων Hilbert.

    9.      Ομοιόμορφα κυρτοί χώροι Banach. 

    Ορισμός, παραδείγματα και βασικές ιδιότητες. Θεώρημα Milman-Pettis.

    10. Βασικές συνέπειες του  Θ. Baire σε χώρους  Banach.

    Αρχή  Ομοιομόρφου Φράγματος - Θ. Ανοικτής Απεικόνισης -  Θ. Κλειστού Γραφήματος κι εφαρμογές.  

    11.  Χώροι  \( L^p \),  \( 1 \leq p \leq \infty \). 

    Βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue και των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων .  Σχεδόν παντού σύγκλιση. Λήμμα του  Fatou,

    Θ. Κυριαρχημένης Σύγκλισης του Lebesgue, Θ. Egorov.

    Ανισότητα Holder.

    Ορισμός των χώρων  \( L^p \). 

    Πληρότητα - Διαχωρισιμότητα  (για \( 1 \leq p < \infty \) ).   

    Ανισότητες Clarkson - Ανακλαστικότητα και  δυϊκός του χώρου \( L^p  (1 < p < \infty). \)   

    12. Εισαγωγή στους χώρους Sobolev.

    Διαφορίσιμες συναρτήσεις με συμπαγή φορέα  και Μεταβολικό Λήμμα.

    Γενικευμένη παράγωγος και ορισμοί  χώρων Sobolev στη μία και στις πολλές διαστάσεις και βασικές ιδιο΄τητες.

    Θεωρήματα Ενσφήνωσης.

  • Θέμα 2

  • ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ (σημειώσεις διδάσκοντα, φυλλάδια ασκήσεων, θέματα εξετάσεων, βιβλία).

  • Θέμα 4