Section outline
-
ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
1 Εισαγωγή
o Κίνητρα και Ιστορικό Υπόβαθρο
o Βασικές Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας
o Έννοια του μέτρου, Μετρήσιμα Σύνολα, Μετρήσιμες Συναρτήσεις
o Μετρικοί Χώροι
2 Χώροι Banach
o Χώροι με Norm
o Χώροι Banach
o Χώροι Πεπερασμένης Διάστασης
o Βάσεις σε Χώρους Banach
3 Χώροι 𝐿𝑝 - Χώροι ℓ𝑝
o Χώροι 𝐿𝑝
o Χώροι ℓ𝑝
4 Τελεστές
o Γραμμικοί Τελεστές
o Γραμμικά Συναρτησιακά
o Μη Γραμμικοί Τελεστές
5 Χώροι Hilbert
o Χώροι με Εσωτερικό Γινόμενο
o Χώροι Hilbert
o Ορθοκανονικά Συστήματα - Βάσεις
o Ισόμορφοι Χώροι Hilbert
o Kυρτότητα - Προβολές σε Χώρους Hilbert
6 Δυϊκοί Χώροι
o Ο Δυϊκός ενός Χώρου με norm
o Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz
o Ο δυϊκός Χώρος 𝑋** του 𝑋*
7. Τοπολογίες σε Χώρους Banach
o Η Ασθενής Τοπολογία στον 𝑋
o Η Ισχυρή Τοπολογία στους 𝑋 και 𝑋*
o Η Ασθενής Τοπολογία 𝜎(𝑋, 𝑋*)
o Η Ασθενής∗ Τοπολογία 𝜎(𝑋*, 𝑋) .
8 Ανακλαστικοί - Διαχωρίσιμοι - Ομοιόμορφα Κυρτοί Χώροι Banach
o Ανακλαστικοί Χώροι Banach
o Διαχωρίσιμοι Χώροι Banach
o Ομοιόμορφα Κυρτοί Χώροι Banach
9 Διαφoρισιμότητα σε Χώρους Banach
o Gateaux Παράγωγος
o Frechet Παράγωγος
o Gateaux, Frechet Παραγωγισιμότητα και Συνέχεια
10 Θεωρία του Σταθερού Σημείου
o Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Banach
o Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Brouwer
o Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Schauder
11 Χώροι Sobolev
o Η Ασθενής Παράγωγος
o Οι Χώροι Sobolev και
o Οι Χώροι Sobolev και
o Οι Χώροι Sobolev και
o Εφαρμογές στις Συνήθεις και στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
12 Μεταβολικές Ανισότητες
o Κίνητρο
o Θεωρία Stampacchia − Lax − Milgram
o Μεταβολική Διατύπωση Προβλημάτων Ελλειπτικού Τύπου
ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ-ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Γ. Δάσιος - Ν. Λαμπρόπουλος, Επιτομή Θεμάτων Μαθηματικής Ανάλυσης, Εκδόσεις Τσιότρα, 2024. (Αποτελεί σημαντικό υπόβαθρο για το μάθημα. Περιέχει σημαντικό τμήμα της ύλης.)
2. Haim Brezis, Συναρτησιακή Ανάλυση, Θεωρία κι Εφαρμογές (Μετάφραση στα Ελληνικά Κραββαρίτη - Χρυσοβέργη), Παν/κές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1997. (Πολύ καλό βιβλίο αναφοράς. Περιέχει τμήμα της ύλης του μαθήματος. Απαιτείται καλό γνωστικό υπόβαθρο.)
3. Klaus Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985. (Πολύ καλό βιβλίο αναφοράς.)
4. Eberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: I. Fixed-Point Theorems, Springer, 1986. (Πολύ καλό βιβλίο αναφοράς. Απαιτείται καλό γνωστικό υπόβαθρο.)
5. Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics, Springer, 1995. (Πολύ καλό βιβλίο αναφοράς. Απαιτείται καλό γνωστικό υπόβαθρο.)
6. E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis. Wiley, 1989. (Πολύ καλό βιβλίο αναφοράς. Διαβάζετε από όλους.)
7. Ν. Λαμπρόπουλος, Μη Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση και Εφαρμογές (Υπό Έκδοση).
8. Rudin, Walter, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991 (Πολύ καλό βιβλίο αναφοράς. Διαβάζετε από όλους.)
9. Σημειώσεις διδάσκοντα.
Διδάσκων
Τομέας Μαθηματικών ΣΕΜΦΕ
Γραφείο 001, Κτ. Ε,
Ηλ. Ταχ. nal@math.ntua.gr
-
-