Section outline
-
-
Στα έγγραφα του τρέχοντος ακαδημαϊκού έτους θα βρείτε τα θέματα μαζί με τις λύσεις, καθώς και τους βαθμούς σας για την εξέταση του χειμερινού εξαμήνου 2025-26. Δεν υπάρχει δυνατότητα για επίδειξη γραπτών, καθώς η προθεσμία για κατάθεση των βαθμολογιών είναι στις 8/3 και εγώ δυστυχώς δεν μπορούσα να βγάλω βαθμούς νωρίτερα γιατί το μάθημα δώθηκε τελευταίο και έπρεπε να διορθώσω μόνος μου 186 γραπτά.
Σε μια προσπάθεια να είναι είναι διαφανής η διαδικασία της αξιολόγησης, θα κάνω μια σειρά από παρατηρήσεις και θα αναφέρω τα πιο συχνά λάθη που συνάντησα.
- Κάθε θέμα αξιολογήθηκε ως προς τη μεθοδολογία (αν υπάρχει ενα σωστό σκεπτικό που μπορεί να οδηγήσει σε λύση), την αιτιολόγηση (κατά πόσο αιτιολογείται η εφαρμογή των θεωρημάτων στους υπολογισμούς), και τέλος στις πράξεις (αν οι πράξεις έγιναν σωστά). Όπου υπήρχε το σκεπτικό και η αιτιολόγηση, τυχόν λάθη στους υπολογισμούς βαθμολογήθηκαν με επιείκεια.
- Στο 1ο θέμα το πιο συχνό λάθος ήταν η λάθος μεταφορά του χωρίου ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες. Το συγκεκριμένο χωρίο το συναντήσαμε σε διάφορα παραδείγματα στο μάθημα, και είχαμε δει αναλυστικά πως γίνεται. Με αυτό το λάθος δυστυχώς ξεκινάει στραβά όλο το θέμα και δεν μπορεί να πάρει πάνω από 1/3.
- Στο 2ο θέμα το πιο συχνό λάθος - και αρκετά σοβαρό λάθος κατανόησης - ήταν η εφαρμογή του θεωρήματος Green στο τετράγωνο [-1,1]x[-1,1]. Τονίζεται στην εκφώνηση ότι το (0,0) ΔΕΝ ανοίκει στο πεδίο ορισμού του F, φαίνεται δε και από τον τύπο ότι το F δεν είναι φραγμένο όσο πλησιάζει κανείς το (0,0), επομένως ΔΕΝ εφαρμόζεται το θεώρημα Green και η βεβιασμένη εφαρμογή του οδηγεί σε λάθος αποτέλεσμα. Γι αυτούς τους λόγους απαντήσεις που βασίζονται στο θεώρημα Green έχουν απορριφθεί εντελώς. Ο καλύτερος τρόπος ήταν με αρχή παραμόρφωσης αλλά για όσους υπολόγισαν σωστά τα τέσσερα ολοκληρώματα με το arctan ελήφθη επίσης σωστό.
- Στο τρίτο θέμα υπήρχε μπέρδεμα από πολλούς με την επιλογή της επιφάνειας και του προσανατολισμού. Η πιο εύκολη επιλογή επιφάνειας ήταν η επίπεδη επιφάνεια με χείλος την έλλεψη που είναι το ίχνος της καμπύλης στον χώρο, με παραμέτρηση S(u,v)=(u,v,1-u,v) και πεδίο ορισμού τον μοναδιαίο δίσκο. Το S(u,v)(Su x Sv)>0, ΔΕΝ αποτελεί απόδειξη ορθού προσανατολισμού (πχ αν η επιφάνεια ήταν μετατοπισμένη στα αρνητικά z αυτό θα έδεινε λάθος αποτέλεσμα).
- Το πρώτο σκέλος του θέματος 4 ήταν αρκετά άμεσο, η απόκλιση είναι 0 και στην πρώτη περίπτωση το θεώρημα Gauss δίνει αμέσως 0. Πολλοί φάνηκαν ωστόσο να μην κατάλαβαν καλά τη διατύπωση. Για το 4π χρειαζόταν να είναι κανείς λίγο πιο εφευρετικός - το έλυσαν ελάχιστοι - αλλά αυτό δεν επηρέασε αρνητικά τη βαθμολογία κανενός (ήταν το bonus που πήγαινε κάποιον από το 10 στο 12).
- Το ποσοστό επιτυχίας είναι 44%, που βρίσκεται στο τυπικό εύρος για το συγκεκριμένο μάθημα. Κανείς δεν κόπηκε με 4. Τα γραπτά με 3 έχουν ελεγχθεί ήδη 2 φορές.
Αν διαβάζοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις και βλέποντας τις λύσεις καποιος εξακολουθεί να πιστεύει ότι υπάρχει κάποιο λάθος με τον βαθμό του, παρακαλώ να μου στείλει άμεσα (μέχρι αύριο Παρασκευή 6/3) αίτημα για αναβαθμολόγηση. (Θα ήθελα μόνο να παρακαλέσω να μη γίνει κατάχρηση αυτής της δυνατότητας γιατί αν μαζευτούν πολλά αιτήματα ενδέχεται να μην προλάβω να τα εξυπηρετήσω όλα).
Δύο γραπτα (ge22082, ge23731) δεν έχουν δηλώσει το μάθημα, αλλά ήταν ούτως ή άλλως μη-προβιβάσιμα.
-
Έχουν εξυπηρετηθεί όλα τα αιτήματα για αναβαθμολόγηση - κάποια έδωσαν θετικό αποτέλεσμα, κάποια όχι, αλλά έγινε προσεκτικός επανέλεγχος σε όλες τις περιπτώσεις. Οι βαθμολογίες οριστικοποιήθηκαν στο σύστημα. Θα υπάρχει δυνατότητα, εκτός απροόπτου, να δείτε το γραπτό σας την Παρασκευή 13/3 στο γραφείο 003 (ισόγειο στο τέλος του διαδρόμου της γραμματείας του τομέα μαθηματικών) στις 11:15 και για περίπου μία με μιάμιση ώρα, ανάλογα με την προσέλευση.
-
Περιγραφή
(Ολοκληρωτικός Λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών) Διπλό ολοκλήρωμα: Διπλό ολοκλήρωμα, θεώρημα Fubini, αλλαγή μεταβλητών, τριπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή μεταβλητών, εφαρμογές των διπλών και τριπλών ολοκληρωμάτων. Επικαμπύλια ολοκληρώματα: Επικαμπύλια ολοκληρώματα πρώτου είδους και εφαρμογές, επικαμπύλια ολοκληρώματα δευτέρου είδους και εφαρμογές, θεώρημα Green. Επιφανειακά ολοκληρώματα: στοιχεία από τη θεωρία των επιφανειών, εμβαδόν επιφάνειας, επιφανειακό ολοκλήρωμα πρώτου είδους και εφαρμογές, επιφανειακό ολοκλήρωμα δευτέρου είδους και εφαρμογές. Βασικά θεωρήματα Διανυσματικής Ανάλυσης: Θεώρημα Stokes και εφαρμογές, θεώρημα Gauss και εφαρμογές, ειδικά διανυσματικά πεδία, ολοκληρωτική μορφή της απόκλισης και του στροβιλισμού, εφαρμογές της διανυσματικής ανάλυσης
Βιβλιογραφία
- Ανάλυση ΙΙ (συναρτήσεις πολλών μεταβλητών), Καδιανάκης Ν. Καρανάσιος Σ. Φελλούρης Α. , ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΣΟΤΡΑ
- Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών για τις επιστήμες του μηχανικού, Καδιανάκης Ν. Καρανάσιος Σ. Φελλούρης Α. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΣΟΤΡΑ
- ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κραββαρίτης Δ. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΣΟΤΡΑ
- Μαθηματικά ΙΙ, Ρασσιας Θ. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΣΟΤΡΑ
- Εφαρμοσμένη Ανάλυση και Θεωρία fourier, Φιλιππάκης Μ. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΣΟΤΡΑ
- ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba ΠΑΝ/ΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗTHΣ
- Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, Γεωργίου Δημήτριος, Καρακασίδης Θεόδωρος, Μεγαρίτης Αθανάσιος, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε.
- Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών και Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις, Παπασχοινόπουλος Γ. - Σχοινάς Χ. - Μυλωνάς Ν ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε
Διδάσκοντες 2025 -2026
Μ. Πασχάλης, διδάσκων ΕΣΠΑ, γραφείο 0.03, mpaschal@math.uoa.grΔιδάσκοντες 2024 -2025
Γ. Σμυρλής, Αναπλ. Καθ.
Γραφείο: 2.20, Κτήριο Ε (ΣΕΜΦΕ), 2ος όροφος
Τηλ. 210 - 7721711
e-mail: gsmyrlis@math.ntua. gr -
-
-
Έγγραφα
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-