Topic outline
-
-
Η εξέταση του μαθήματος Περιγραφική Θεωρία Συνόλων θα διεξαχθεί τη
Δευτέρα 8 Ιουλίου στις 10:30 στην Αίθουσα 103 νέο κτίριο ΣΕΜΦΕ (πλησίον των αιθουσών διδασκαλίας).
Στην ενότητα "Υλικό" έχουν αναρτηθεί τα θέματα των εξετάσεων 2022 και 2023.
Η εξεταστέα ύλη αποτελείται από τις ακόλουθες ενότητες από τις σημειώσεις του διδάσκοντα:
-- 1.1 έως 1.3
-- 2.1 έως 2.5 (μέχρι το Πόρισμα 2.5.3)
-- 3.1 έως 3.4
-- Borel σύνολα (ορισμός)
-- Το Θεώρημα διαχωρισμού του Lusin (Θεώρημα 5.2.1) χωρίς την απόδειξη και το Θέωρημα του Suslin (Πόρισμα 5.2.2).Καλούνται οι σπουδαστές και οι σπουδάστριεςπου ενδιαφέρονται να συμμετάσχουν στην εξέτασητου μαθήματος «Περιγραφική Θεωρία Συνόλων» να αποστείλουν ένα email στοvgregoriades@mail.ntua.grμέχρι και την Τρίτη 4 Ιουνίουπροκειμένου να καθοριστεί η ημερομηνία εξέτασης. -
Οι φοιτητές του μαθήματος μπορούν να υποβάλουν γραπτή εργασία σε ένα από τα ακόλουθα θέματα. Η εργασία προσμετράται μόνο θετικά και επιφέρει βελτίωση στον βαθμό της εξέτασης μέχρι 2 μονάδες στην κλίμακα 1-10. Παράδειγμα: αν ο βαθμός στην εξέταση είναι 7 και έχει υποβληθεί εργασία, τότε ο τελικός βαθμός κυμαίνεται από 7 έως 9.
Η εργασία μπορεί να υποβληθεί είτε σε ηλεκτρονική μορφή με αποστολή email στον διδάσκοντα είτε σε φυσική μορφή διά ζώσης. Η προθεσμία παράδοσης είναι η μέρα της εξέτασης του μαθήματος. Η τελευταία δεν έχει ακόμα καθοριστεί, θα διεξαχθεί όμως μέσα στον Ιούλιο.
Οι παραπομπές [1] και [3] είναι στη Βιβλιογραφία που βρίσκεται πιο κάτω (και που είναι η ίδια με τη Βιβλιογραφία του μαθήματος).
1ο Θέμα.
----------------
Μια συνάρτηση f: X --> Y είναι Σ^0_2-μετρήσιμη αν αντιστρέφει τα ανοικτά υποσύνολα του Υ σε F_σ υποσύνολα του X. Σκοπός είναι να αποδειχθεί το ακόλουθο αποτέλεσμα:
Για κάθε τέλειο Πολωνικό χώρο X υπάρχει ένας επιμορφισμός f: X ---> Baire space, που είναι Σ^0_2-μετρήσιμη συνάρτηση.
Για υποδείξεις σχετικά με την απόδειξη του πιο πάνω δείτε το 1G.10 από το [3] της Βιβλιογραφίας. Χρειάζονται επιπλέον τα ακόλουθα:
α) Η συνάρτηση κωδικοποίησης από φυσικούς αριθμούς του συνόλου όλων των πεπερασμένων ακολουθιών, δείτε το 2.2 του [3].
β) Το Θεώρημα 2.3.12 του [3] και ειδικά η κατασκευή των συνόλων V_u στην απόδειξη του τελευταίου. Δεν χρειάζεται να επαναλάβετε την απόδειξη στην εργασία.
γ) Ο Ορισμός 3.8.1 και η Πρόταση 3.8.2 του [3]. Να γίνει απόδειξη της τελευταίας είτε γενικά για όλα τα n είτε για n=2.
2ο Θέμα.
----------------
Σκοπός είναι να αποδειχθεί ότι κάθε μηδενοδιάστατος Πολωνικός χώρος είναι τοπολογικά ισομορφικός με ένα κλειστό υποσύνολο του χώρου του Baire. Δείτε τον Ορισμό 2.6.7 και το Θεώρημα 2.6.10 του [3]. Να γίνει απόδειξη και της ενδιάμεσης Πρότασης 2.6.9.
3ο Θέμα (χρειάζονται γνώσεις θεωρίας μέτρου).
----------------
Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθεί ότι τα αναλυτικά υποσύνολα του R^n είναι Lebesgue-μετρήσιμα, δείτε το Πόρισμα 5.6.3 του [3]. Μπορείτε να πάρετε δεδομένη την Πρόταση 5.1.3 (κάθε μη κενό αναλυτικό σύνολο είναι η συνεχής εικόνα ενός Πολωνικού χώρου) καθώς και τα σχετικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου. Όλες οι αναγκαίες πληροφορίες βρίσκονται στο 5.6 του [3].
--------------------------------------------------------
Βιβλιογραφία:
-----------------------
[1] Descriptive Set Theory, Γιάννης Μοσχοβάκης, Surveys and Monographs series 155, American Mathematical Society, 2009.
[2] Classical Descriptive Set Theory, Αλέξανδρος Κεχρής, Graduate Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1994.
[3] Σημειώσεις στην Περιγραφική Θεωρία Συνόλων, Βασίλειος Γρηγοριάδης, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις Κάλλιπος. -
Έναρξη Διαλέξεων Δευτέρα 26 Φεβρουαρίου 2024
Δευτέρα 10:45-12:30. Αιθ.106 Νέο κτ. ΣΕΜΦΕΤετάρτη 10:45-12:30. Αιθ.107 Νέο κτ. ΣΕΜΦΕ
Το πιο κάτω pdf περιέχει οδηγίες από το google maps για να φτάσετε από την πύλη Ζωγράφου του ΕΜΠ στο νέο κτίριο. Όταν δείτε το εκκλησάκι τότε έχετε φτάσει. Το νέο κτίριο βρίσκεται ακριβώς δίπλα.
EDIT 10/3/2024: Από την Τετάρτη 20 Μαρτίου οι διαλέξεις διεξάγονται διά ζώσης.
-
Η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων ασχολείται με τη δομή και τις ιδιότητες συνόλων σε πλήρεις και διαχωρίσιμους μετρικούς χώρους, τα οποία προκύπτουν με "φυσιολογικό" τρόπο.
Πέραν από αυτόνομη ερευνητική περιοχή η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων έχει βρει εφαρμογές σε άλλες περιοχές, όπως τη Θεωρία Μέτρου, τη Συναρτησιακή Ανάλυση, την Εργοδική Θεωρία και τη Μαθηματική Λογική.
Σε αυτό το μάθημα παρουσιάζουμε τις βασικές ιεραρχίες συνόλων καθώς και τα θεμελιώδη αποτελέσματα πάνω σε αυτές.
-
-- Πολωνικοί χώροι, Θεώρημα Cantor-Bendixson
-- Δένδρα
-- Αριθμητικές και αναλυτικές κλάσεις συνόλων, συνολοθεωρητικοί τελεστές, καθολικά σύνολα
-- Borel σύνολα και ισομορφισμοί, ο χώρος Effros-Borel
-- Αναλυτικά σύνολα
-- Θεώρημα Διαχωρισμού Luzin-Suslin, Θεώρημα Τέλειου Συνόλου
-- Συναναλυτικά σύνολα
-- Θεωρήματα ομαλοποίησης
-- Εφαρμογές από τη Θεωρία Παιγνίων
-
1) (Αγγλικά) Descriptive Set Theory, Γιάννης Μοσχοβάκης, Surveys and Monographs series 155, American Mathematical Society, 2009. Διατείθεται επίσης δωρεάν σε ηλεκρονική μορφή εδώ.
2) (Αγγλικά) Classical Descriptive Set Theory, Αλέξανδρος Κεχρής, Graduate Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1994.
3) Σημειώσεις του διδάσκοντα που θα ανανεώντονται τακτικά και είναι διαθέσιμες σε αυτή την ιστοσελίδα στον φάκελο "Σημειώσεις" της ενότητας "Υλικό".
-
-
Σύγγραμμα Μαθήματος
Μάιος 2024: Αναρτήθηκε η τελική έκδοση στο αποθετήριο Κάλλιπος:
Σύγγραμμα Μαθήματος (προκαταρτικές εκδόσεις)
-
-
-
Β. ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ, ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, ΓΡΑΦΕΙΟ 3.09 (ΚΤΗΡΙΟ Ε/ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ/Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Γ' ΟΡΟΦΟΣ) Τηλ. 210-7721763
E-MAIL: vgregoriades@mail.ntua.gr
Ιστοσελίδα: http://www.math.ntua.gr/~vgregoriades/
-
Αυτό είναι το κτίριο του Τομέα Μαθηματικών ΣΕΜΦΕ. Εδώ βρίσκεται το γραφείο του διδάσκοντα.
-
