Γραπτή Εργασία 2024-2025

Οι φοιτητές του μαθήματος μπορούν να υποβάλουν γραπτή εργασία σε ένα από τα ακόλουθα θέματα. Η εργασία προσμετράται μόνο θετικά και επιφέρει βελτίωση στον βαθμό της εξέτασης μέχρι 2 μονάδες στην κλίμακα 1-10. Παράδειγμα: αν ο βαθμός στην εξέταση είναι 7 και έχει υποβληθεί εργασία, τότε ο τελικός βαθμός κυμαίνεται από 7 έως 9. 

Η εργασία μπορεί να υποβληθεί είτε σε ηλεκτρονική μορφή με αποστολή email στον διδάσκοντα είτε σε φυσική μορφή διά ζώσης. Η προθεσμία παράδοσης είναι η μέρα της εξέτασης του μαθήματος, η οποία θα καθοριστεί σε συνεννόηση με τον διδάσκοντα.

Οι παραπομπές αναφέρονται στη βιβλιογραφία που βρίσκονται πιο κάτω στην ιστοσελίδα.

1ο Θέμα.

Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθούν τα ακόλουθα: 

α) Κάθε Πολωνικός χώρος είναι τοπολoγικά ισομορφικός με ένα G_δ υποσύνολο του κύβου του Hilbert [0,1]^N. (Με Ν εννοούμε το σύνολο των φυσικών αριθμών.)

β) Κάθε Πολωνικός χώρος έχει μια συμπαγοποίηση που είναι επίσης Πολωνικός χώρος.

γ) Κάθε Πολωνικός χώρος είναι τοπολογικά ισομορφικός με ένα κλειστό υποσύνολο του R^N.

Οι σχετικές πληροφορίες βρίσκονται στο 4.C του [2].

2ο Θέμα.

Στόχος είναι αποδειχθεί ότι τα Borel υποσύνολα ενός Πολωνικού χώρου είναι συνεχείς ένα-προς-ένα εικόνες κλειστών υποσυνόλων του χώρου του Baire (Θεώρημα 4.3.2 στο [3]) και να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι ικανοποιούν την Υπόθεση του Συνεχούς. Θα πρέπει να αποδειχθεί και το βοηθητικό Λήμμα 4.3.1 του [3]. Μπορούν να ληφθούν δεδομένα τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2. 

3ο Θέμα (χρειάζονται γνώσεις θεωρίας μέτρου).

Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθεί ότι τα αναλυτικά υποσύνολα του R^n είναι Lebesgue-μετρήσιμα, δείτε το Πόρισμα 5.6.3 του [3]. Μπορείτε να πάρετε δεδομένη την Πρόταση 5.1.3 (κάθε μη κενό αναλυτικό σύνολο είναι η συνεχής εικόνα ενός Πολωνικού χώρου) καθώς και τα σχετικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου. Όλες οι αναγκαίες πληροφορίες βρίσκονται στο 5.6 του [3]. Σχετικές πληροφορίες βρίσκονται και στο 3H του [1].