Section outline

  • Οι φοιτητές του μαθήματος μπορούν να υποβάλουν γραπτή εργασία σε ένα από τα ακόλουθα θέματα. Η εργασία προσμετράται μόνο θετικά και επιφέρει βελτίωση στον βαθμό της εξέτασης μέχρι 2 μονάδες στην κλίμακα 1-10. Παράδειγμα: αν ο βαθμός στην εξέταση είναι 7 και έχει υποβληθεί εργασία, τότε ο τελικός βαθμός κυμαίνεται από 7 έως 9. 

    Η εργασία μπορεί να υποβληθεί είτε σε ηλεκτρονική μορφή με αποστολή email στον διδάσκοντα είτε σε φυσική μορφή διά ζώσης. Η προθεσμία παράδοσης είναι η μέρα της εξέτασης του μαθήματος, η οποία θα καθοριστεί σε συνεννόηση με τον διδάσκοντα.

    Οι παραπομπές είναι στη βιβλιογραφία που βρίσκονται πιο κάτω στην ιστοσελίδα.


    1ο Θέμα.

    Σκοπός είναι να αποδειχθεί ότι κάθε μηδενοδιάστατος Πολωνικός χώρος είναι τοπολογικά ισομορφικός με ένα κλειστό υποσύνολο του χώρου του Baire. Δείτε τον Ορισμό 2.6.7 και το Θεώρημα 2.6.10 του [3]. Να γίνει απόδειξη και της ενδιάμεσης Πρότασης 2.6.9.

    2ο Θέμα.

    Μια συνάρτηση f: X --> Y είναι Σ^0_2-μετρήσιμη αν αντιστρέφει τα ανοικτά υποσύνολα του Υ σε F_σ υποσύνολα του X. Σκοπός είναι να αποδειχθεί το ακόλουθο αποτέλεσμα:

    Για κάθε Πολωνικό χώρο X υπάρχει ένας επιμορφισμός f: X ---> Baire space, που είναι Σ^0_2-μετρήσιμη συνάρτηση.

    Για υποδείξεις σχετικά με την απόδειξη του πιο πάνω δείτε το 1G.10 από το [1] της Βιβλιογραφίας. Χρειάζονται επιπλέον τα ακόλουθα:

    α) Η συνάρτηση κωδικοποίησης από φυσικούς αριθμούς του συνόλου όλων των πεπερασμένων ακολουθιών, δείτε το 2.2 του [3].

    β) Το Θεώρημα 2.3.12 του [3] και ειδικά η κατασκευή των συνόλων V_u στην απόδειξη του τελευταίου. Δεν χρειάζεται να επαναλάβετε την απόδειξη στην εργασία.

    γ) Ο Ορισμός 3.8.1 και η Πρόταση 3.8.2 του [3]. Να γίνει απόδειξη της τελευταίας είτε γενικά για όλα τα n είτε για n=2.


    3ο Θέμα (χρειάζονται γνώσεις θεωρίας μέτρου).

    Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθεί ότι τα αναλυτικά υποσύνολα του R^n είναι Lebesgue-μετρήσιμα, δείτε το Πόρισμα 5.6.3 του [3]. Μπορείτε να πάρετε δεδομένη την Πρόταση 5.1.3 (κάθε μη κενό αναλυτικό σύνολο είναι η συνεχής εικόνα ενός Πολωνικού χώρου) καθώς και τα σχετικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου. Όλες οι αναγκαίες πληροφορίες βρίσκονται στο 5.6 του [3]. Σχετικές πληροφορίες βρίσκονται και στο 3H του [1].

    4ο Θέμα.

    Στόχος είναι αποδειχθεί ότι τα Borel υποσύνολα ενός Πολωνικού χώρου είναι συνεχείς ένα-προς-ένα εικόνες κλειστών υποσυνόλων του χώρου του Baire (Θεώρημα 4.3.2 στο [3]) και να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι ικανοποιούν την Υπόθεση του Συνεχούς. Θα πρέπει να αποδειχθεί και το βοηθητικό Λήμμα 4.3.1 του [3]. Μπορούν να ληφθούν δεδομένα τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2.