Section outline
-
Έναρξη Διαλέξεων: 17 Φεβρουαρίου 2025
Δευτέρα 10:45-12:30. Αιθ.108 Νέο κτ. ΣΕΜΦΕΤετάρτη 10:45-12:30. Αιθ.108 Νέο κτ. ΣΕΜΦΕ
Το πιο κάτω pdf περιέχει οδηγίες από το google maps για να φτάσετε από την πύλη Ζωγράφου του ΕΜΠ στο νέο κτίριο. Όταν δείτε το εκκλησάκι τότε έχετε φτάσει. Το νέο κτίριο βρίσκεται ακριβώς δίπλα.
-
-
Η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων ασχολείται με τη δομή και τις ιδιότητες συνόλων σε πλήρεις και διαχωρίσιμους μετρικούς χώρους, τα οποία προκύπτουν με "φυσιολογικό" τρόπο.
Πέραν από αυτόνομη ερευνητική περιοχή η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων έχει βρει εφαρμογές σε άλλες περιοχές, όπως τη Θεωρία Μέτρου, τη Συναρτησιακή Ανάλυση, την Εργοδική Θεωρία και τη Μαθηματική Λογική.
Σε αυτό το μάθημα παρουσιάζουμε τις βασικές ιεραρχίες συνόλων καθώς και τα θεμελιώδη αποτελέσματα πάνω σε αυτές.
-
-- Πολωνικοί χώροι, Θεώρημα Cantor-Bendixson
-- Δένδρα
-- Αριθμητικές και αναλυτικές κλάσεις συνόλων, συνολοθεωρητικοί τελεστές, καθολικά σύνολα
-- Borel σύνολα και ισομορφισμοί, ο χώρος Effros-Borel
-- Αναλυτικά σύνολα
-- Θεώρημα Διαχωρισμού Luzin-Suslin, Θεώρημα Τέλειου Συνόλου
-- Συναναλυτικά σύνολα
-- Θεωρήματα ομαλοποίησης
-- Εφαρμογές από τη Θεωρία Παιγνίων
-
Οι φοιτητές του μαθήματος μπορούν να υποβάλουν γραπτή εργασία σε ένα από τα ακόλουθα θέματα. Η εργασία προσμετράται μόνο θετικά και επιφέρει βελτίωση στον βαθμό της εξέτασης μέχρι 2 μονάδες στην κλίμακα 1-10. Παράδειγμα: αν ο βαθμός στην εξέταση είναι 7 και έχει υποβληθεί εργασία, τότε ο τελικός βαθμός κυμαίνεται από 7 έως 9.
Η εργασία μπορεί να υποβληθεί είτε σε ηλεκτρονική μορφή με αποστολή email στον διδάσκοντα είτε σε φυσική μορφή διά ζώσης. Η προθεσμία παράδοσης είναι η μέρα της εξέτασης του μαθήματος, η οποία θα καθοριστεί σε συνεννόηση με τον διδάσκοντα.
Οι παραπομπές αναφέρονται στη βιβλιογραφία που βρίσκονται πιο κάτω στην ιστοσελίδα.
1ο Θέμα.Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
α) Κάθε Πολωνικός χώρος είναι τοπολoγικά ισομορφικός με ένα G_δ υποσύνολο του κύβου του Hilbert [0,1]^N. (Με Ν εννοούμε το σύνολο των φυσικών αριθμών.)
β) Κάθε Πολωνικός χώρος έχει μια συμπαγοποίηση που είναι επίσης Πολωνικός χώρος.
γ) Κάθε Πολωνικός χώρος είναι τοπολογικά ισομορφικός με ένα κλειστό υποσύνολο του R^N.
Οι σχετικές πληροφορίες βρίσκονται στο 4.C του [2].
2ο Θέμα.Στόχος είναι αποδειχθεί ότι τα Borel υποσύνολα ενός Πολωνικού χώρου είναι συνεχείς ένα-προς-ένα εικόνες κλειστών υποσυνόλων του χώρου του Baire (Θεώρημα 4.3.2 στο [3]) και να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι ικανοποιούν την Υπόθεση του Συνεχούς. Θα πρέπει να αποδειχθεί και το βοηθητικό Λήμμα 4.3.1 του [3]. Μπορούν να ληφθούν δεδομένα τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2.
3ο Θέμα (χρειάζονται γνώσεις θεωρίας μέτρου).Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθεί ότι τα αναλυτικά υποσύνολα του R^n είναι Lebesgue-μετρήσιμα, δείτε το Πόρισμα 5.6.3 του [3]. Μπορείτε να πάρετε δεδομένη την Πρόταση 5.1.3 (κάθε μη κενό αναλυτικό σύνολο είναι η συνεχής εικόνα ενός Πολωνικού χώρου) καθώς και τα σχετικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου. Όλες οι αναγκαίες πληροφορίες βρίσκονται στο 5.6 του [3]. Σχετικές πληροφορίες βρίσκονται και στο 3H του [1].
-
[1] (Αγγλικά) Descriptive Set Theory, Γιάννης Μοσχοβάκης, Surveys and Monographs series 155, American Mathematical Society, 2009. Διατίθεται επίσης δωρεάν σε ηλεκρονική μορφή εδώ.
[2] (Αγγλικά) Classical Descriptive Set Theory, Αλέξανδρος Κεχρής, Graduate Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1994.
[3] Σημειώσεις στην Περιγραφική Θεωρία Συνόλων, Βασίλειος Γρηγοριάδης, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις Κάλλιπος. Διαθέσιμο εδώ.
-
-
-
Παλαιά Θέματα
-
-
Σύγγραμμα Μαθήματος
Μάιος 2024: Αναρτήθηκε η τελική έκδοση στο αποθετήριο Κάλλιπος:
-
-
-
-
Β. ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ, ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, ΓΡΑΦΕΙΟ 3.09 (ΚΤΗΡΙΟ Ε/ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ/Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Γ' ΟΡΟΦΟΣ) Τηλ. 210-7721763
E-MAIL: vgregoriades@mail.ntua.gr
Ιστοσελίδα: http://www.math.ntua.gr/~vgregoriades/
-
Αυτό είναι το κτίριο του Τομέα Μαθηματικών ΣΕΜΦΕ. Εδώ βρίσκεται το γραφείο του διδάσκοντα.
434.0 KB
-