Topic outline

  • General

    • Εξέταση Εαρινό Εξάμηνο 2022-2023


      Η εξέταση του μαθήματος θα γίνει την

      Παρασκευή 30/6 στις 11:00 στην Αίθουσα 105 (δίπλα από την αίθουσα που γίνονταν οι διαλέξεις).

      Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες.

      Υπενθυμίζεται ότι εκείνη η μέρα είναι η προθεσμία παράδοσης της εργασίας στο μάθημα. Την εργασία μπορείτε να την παραδώσετε είτε ηλεκτρονικά είτε από κοντά.

      EDIT: Σχετικά με την εξεταστέα ύλη. Η θεωρία περιλαμβάνεται στα ακόλουθα. (Οι παραπομπές είναι στις online σημειώσεις με τίτλο notes_on_dst_Feb19.pdf)

      Κεφάλαιο 1 (Εισαγωγή): Θεωρούνται γνωστές προαπαιτούμενες γνώσεις.

      Κεφάλαιο 2: Μέχρι και το 2.5.3. Επιπλέον τα 2.5.11, 2.5.12 (μόνο εκφώνηση), 2.5.13 και 2.5.14 (μόνο εκφώνηση).

      Κεφάλαιο 3: Μέχρι και τo 3.4.9.

      Κεφάλαιο 4: Μέχρι και την Πρόταση 4.1.3. Επιπλέον τα εξής: Πόρισμα 4.1.7, Ορισμός 4.2.1, Πρόταση 4.2.2, Θεώρημα 4.2.12 (μόνο εκφώνηση).

      Κεφάλαιο 5: Θεώρημα 5.2.1 (μόνο εκφώνηση), Πόρισμα 5.2.2 και Πόρισμα 5.2.3.

      Νοείται ότι οι αντίστοιχες ασκήσεις και παραδείγματα που αναφέρονται στα πιο πάνω συμπεριλαμβάνονται στην εξεταστέα ύλη.

      • Εργασία 2022-2023


        Στο μάθημα ανατίθεται εργασία η οποία, ανάλογα με την ποιότητά της θα οδηγήσει στη βελτίωση του τελικού βαθμού μέχρι και 1,5 μονάδα στον βαθμό της τελικής εξέτασης. Η προθεσμία παράδοσης είναι η ημέρα  της τελικής εξέτασης.

        Μπορείτε να επιλέξετε μία από τις ακόλουθες επιλογές.

        1η Επιλογή:

        Σύγγραμμα αναφοράς: Classical Descriptive Set Theory, A. Kechris.

        Σκοπός της εργασίας είναι να αποδειχθεί το εξής αποτέλεσμα.

        Αν ο Χ είναι Πολωνικός χώρος τότε υπάρχει συνεχής επιμορφισμός f: N^N --> X, όπου Ν^N είναι ο χώρος του Baire και η f είναι ανοικτή συνάρτηση. Το τελευταίο σημαίνει ότι για κάθε ανοικτό υποσύνολο V του χώρου του Baire η εικόνα f[V] είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ.

        Αυτό βρίσκεται στην Άσκηση 7.14 του συγγράμματος αναφοράς. Ο Ορισμός 7.5 και η Πρόταση 7.6 είναι βοηθητικά.

        2η Επιλογή (χρειάζεται γνώση θεωρίας μέτρου):

        Ένα υποσύνολο Πολωνικού χώρου ονομάζεται αναλυτικό αν είναι η συνεχής εικόνα ενός Πολωνικού χώρου.

        Σκοπός της εργασίας είναι να αποδειχθεί ότι τα αναλυτικά σύνολα είναι απολύτως μετρήσιμα, δηλαδή είναι μετρήσιμα ως προς οποιοδήποτε σ-πεπερασμένο Borel μέτρο στον Πολωνικό χώρο που περιέχει το αναλυτικό σύνολο.

        Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όποιο σύγγραμμα αναφοράς επιθυμείτε.

        3η Επιλογή (θεωρία παιγνίων, χρειάζεται γνώση διατακτικών αριθμών):

        Σύγγραμμα αναφοράς: Descriptive Set Theory, Y. N. Moschovakis.

        Σκοπός της εργασίας είναι: α) να οριστούν οι βασικές έννοιες σχετικά με τα παίγνια δύο παικτών G_X(A) και β) να αποδειχθεί το εξής αποτέλεσμα του Wolfe:

        Κάθε F_σ υποσύνολο του X^N είναι προσδιοριστό (determined), όπου N είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών και το Χ είναι ένα μη κενό σύνολο. Το Χ λαμβάνεται με τη διακριτή τοπολογία και το Χ^Ν με την τοπολογία γινόμενο.

        Το υλικό βρίσκεται στο 6Α του συγγράμματος αναφοράς και το πιο πάνω αποτέλεσμα του Wolfe είναι το 6A.3.

        • Schedule 2022-2023

          Έναρξη Διαλέξεων Τετάρτη 20 Φεβρουαρίου 2023

          Δευτέρα 10:45-12:30. Αιθ.106 Νέο κτ. ΣΕΜΦΕ

          Τρίτη 15:15-17:00 10:45-12:30. Αιθ.106 Νέο κτ. ΣΕΜΦΕ

          Το πιο κάτω pdf περιέχει οδηγίες από το google maps για να φτάσετε από την πύλη Ζωγράφου του ΕΜΠ στο νέο κτίριο. Όταν δείτε το εκκλησάκι τότε έχετε φτάσει. Το νέο κτίριο βρίσκεται ακριβώς δίπλα.

        • Description

          Η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων ασχολείται με τη δομή και τις ιδιότητες συνόλων σε πλήρεις και διαχωρίσιμους μετρικούς χώρους, τα οποία προκύπτουν με "φυσιολογικό" τρόπο.

          Πέραν από αυτόνομη ερευνητική περιοχή η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων έχει βρει εφαρμογές σε άλλες περιοχές, όπως τη Θεωρία Μέτρου, τη Συναρτησιακή Ανάλυση, την Εργοδική Θεωρία και τη Μαθηματική Λογική.

          Σε αυτό το μάθημα παρουσιάζουμε τις βασικές ιεραρχίες συνόλων καθώς και τα θεμελιώδη αποτελέσματα πάνω σε αυτές.

          • Syllabus

            -- Πολωνικοί χώροι, Θεώρημα Cantor-Bendixson 

            -- Δένδρα

            -- Αριθμητικές και αναλυτικές κλάσεις συνόλων, συνολοθεωρητικοί τελεστές, καθολικά σύνολα

            -- Borel σύνολα και ισομορφισμοί, ο χώρος Effros-Borel

            -- Αναλυτικά σύνολα

            -- Θεώρημα Διαχωρισμού Luzin-Suslin, Θεώρημα Τέλειου Συνόλου

            -- Συναναλυτικά σύνολα

            -- Θεωρήματα ομαλοποίησης

            -- Εφαρμογές από τη Θεωρία Παιγνίων

            • Bibliography

              1)  (Αγγλικά) Descriptive Set Theory, Γιάννης Μοσχοβάκης, Surveys and Monographs series 155, American Mathematical Society, 2009. Διατείθεται επίσης δωρεάν σε ηλεκρονική μορφή εδώ.

              2) (Αγγλικά) Classical Descriptive Set Theory, Αλέξανδρος Κεχρής, Graduate Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1994. 

              3) Σημειώσεις του διδάσκοντα που θα ανανεώντονται τακτικά και είναι διαθέσιμες σε αυτή την ιστοσελίδα στον φάκελο "Σημειώσεις" της ενότητας "Υλικό".

              • Material

              • Instructor



                Β. ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ, ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ,       ΓΡΑΦΕΙΟ 3.09 (ΚΤΗΡΙΟ Ε/ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ/Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Γ' ΟΡΟΦΟΣ)   Τηλ. 210-7721763

                E-MAIL:   vgregoriades@mail.ntua.gr

                Ιστοσελίδα: http://www.math.ntua.gr/~vgregoriades/