ΑΣΚΗΣΗ 1
Ένα υλικό σημείο μάζας m κινείται στο επίπεδο xy. Οι συνιστώσες της ταχύτητάς του δίνονται από τις σχέσεις
vₓ = αy, vᵧ = −βx
όπου α και β είναι θετικές σταθερές με διαστάσεις αντίστροφου χρόνου.
Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:
(α) Να υπολογίσετε τις συνιστώσες της δύναμης που ασκείται στο σωματίδιο και να αποδείξετε ότι πρόκειται για κεντρική δύναμη.
(β) Να βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν οι συντεταγμένες x(t) και y(t). Να δείξετε ότι η κίνηση κατά μήκος κάθε άξονα είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να προσδιορίσετε τη γωνιακή συχνότητα.
(γ) Αν οι αρχικές συνθήκες είναι x(0) = H και y(0) = 0, με H > 0, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις x(t) και y(t).
(δ) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς. Να προσδιορίσετε τους ημιάξονες της έλλειψης και να βρείτε τη συνθήκη υπό την οποία η τροχιά είναι κύκλος.
(ε) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια U(x,y), επιλέγοντας U(0,0) = 0, και να βρείτε τη συνολική μηχανική ενέργεια για τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.
(στ) Να υπολογίσετε τη στροφορμή ως προς την αρχή των αξόνων και να εξετάσετε αν διατηρείται.