Section outline

  • Οι φοιτητές του μαθήματος μπορούν να υποβάλουν γραπτή εργασία σε ένα από τα ακόλουθα θέματα. Η εργασία προσμετράται μόνο θετικά και επιφέρει βελτίωση στον βαθμό της εξέτασης μέχρι 2 μονάδες στην κλίμακα 1-10. Παράδειγμα: αν ο βαθμός στην εξέταση είναι 7 και έχει υποβληθεί εργασία, τότε ο τελικός βαθμός κυμαίνεται από 7 έως 9.

    Η εργασία μπορεί να υποβληθεί είτε σε ηλεκτρονική μορφή με αποστολή email στον διδάσκοντα είτε σε φυσική μορφή διά ζώσης. Η προθεσμία παράδοσης είναι η μέρα της εξέτασης του μαθήματος. Η τελευταία δεν έχει ακόμα καθοριστεί, θα διεξαχθεί όμως μέσα στον Ιούλιο.

    Οι παραπομπές [1] και [3] είναι στη Βιβλιογραφία που βρίσκεται πιο κάτω (και που είναι η ίδια με τη Βιβλιογραφία του μαθήματος).


    1ο Θέμα.
    ----------------

    Μια συνάρτηση f: X --> Y είναι Σ^0_2-μετρήσιμη αν αντιστρέφει τα ανοικτά υποσύνολα του Υ σε F_σ υποσύνολα του X. Σκοπός είναι να αποδειχθεί το ακόλουθο αποτέλεσμα:

    Για κάθε τέλειο Πολωνικό χώρο X υπάρχει ένας επιμορφισμός f: X ---> Baire space, που είναι Σ^0_2-μετρήσιμη συνάρτηση.

    Για υποδείξεις σχετικά με την απόδειξη του πιο πάνω δείτε το 1G.10 από το [3] της Βιβλιογραφίας. Χρειάζονται επιπλέον τα ακόλουθα:

    α) Η συνάρτηση κωδικοποίησης από φυσικούς αριθμούς του συνόλου όλων των πεπερασμένων ακολουθιών, δείτε το 2.2 του [3].

    β) Το Θεώρημα 2.3.12 του [3] και ειδικά η κατασκευή των συνόλων V_u στην απόδειξη του τελευταίου. Δεν χρειάζεται να επαναλάβετε την απόδειξη στην εργασία.

    γ) Ο Ορισμός 3.8.1 και η Πρόταση 3.8.2 του [3]. Να γίνει απόδειξη της τελευταίας είτε γενικά για όλα τα n είτε για n=2.


    2ο Θέμα.
    ----------------

    Σκοπός είναι να αποδειχθεί ότι κάθε μηδενοδιάστατος Πολωνικός χώρος είναι τοπολογικά ισομορφικός με ένα κλειστό υποσύνολο του χώρου του Baire. Δείτε τον Ορισμό 2.6.7 και το Θεώρημα 2.6.10 του [3]. Να γίνει απόδειξη και της ενδιάμεσης Πρότασης 2.6.9.


    3ο Θέμα (χρειάζονται γνώσεις θεωρίας μέτρου).
    ----------------

    Σε αυτό το θέμα ζητείται να αποδειχθεί ότι τα αναλυτικά υποσύνολα του R^n είναι Lebesgue-μετρήσιμα, δείτε το Πόρισμα 5.6.3 του [3]. Μπορείτε να πάρετε δεδομένη την Πρόταση 5.1.3 (κάθε μη κενό αναλυτικό σύνολο είναι η συνεχής εικόνα ενός Πολωνικού χώρου) καθώς και τα σχετικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου. Όλες οι αναγκαίες πληροφορίες βρίσκονται στο 5.6 του [3].

    --------------------------------------------------------

    Βιβλιογραφία:
    -----------------------

    [1]  Descriptive Set Theory, Γιάννης Μοσχοβάκης, Surveys and Monographs series 155, American Mathematical Society, 2009.

    [2] Classical Descriptive Set Theory, Αλέξανδρος Κεχρής, Graduate Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1994.

    [3] Σημειώσεις στην Περιγραφική Θεωρία Συνόλων, Βασίλειος Γρηγοριάδης, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις Κάλλιπος.