Διδαχθείσα Ύλη

1ο Μάθημα, 30/09/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Β : Ταχύτητα κι επιτάχυνση σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες. Κυκλική κίνηση, παραδείγματα. Μήκος καμπύλης σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες (διαφορικό μήκος, διαφορική επιφάνεια). Ταχύτητα κι επιτάχυνση σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. 

ΤΜΗΜΑ-Β : Εισαγωγικές έννοιες (μάζα, βαρύτητα), νόμος Παγκόσμιας Ελξης, Βαρυτική δύναμη κοντά στην επιφάνεια της Γης με ανάπτυγμα Taylor. Θεμελιώδεις Νόμοι του Νεύτωνα. Η επίλυση τη διαφορικής εξίσωσης κίνησης του Νεύτωνα και ο ρόλος των Αρχικών Συνθηκών. Παράδειγμα: κίνηση υπό σταθερή δύναμη. Πλάγια βολή σε σταθερό βαρυτικό πεδίο, Εξίσωση τροχιάς (παραβολική), Μέγιστο βεληνεκές. Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών για κίνηση σε μία διάσταση υπό την επίδραση δύναμης της μορφής F(x,υ)=f(x)g(υ). Παράδειγμα: απλός αρμονικός ταλαντωτής σε μία διάσταση χωρίς τριβές. 

6ο Μάθημα, 10/10/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α : Πλάγια βολή σε σταθερό βαρυτικό πεδίο με αντίδραση αέρα F=-cu, νέα εξίσωση τροχιάς (διορθωμένη παραβολική). Κίνηση σε παράλληλα και ομογενή Μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο, κυκλοτρονική συχνότητα.

ΤΜΗΜΑ-Β : Αντίσταση ρευστού (π.χ. αέρας), παραδείγματα: κίνηση σε μια διάσταση υπο την επίδραση δύναμης F=-cυ και F=-cυ² . Πλάγια βολή σε σταθερό βαρυτικό πεδίο με αντίδραση αέρα F=-cu, νέα εξίσωση τροχιάς (διορθωμένη παραβολική).

7ο Μάθημα, 14/10/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α : Βαρυτική δύναμη από σφαιρικά συμμετρικό φλοιό προς σημειακή μέσα στο εσωτερικό του και στο εξωτερικό του. Αρμονική συμπεριφορά μάζας στο εσωτερικό σήραγγας που σχηματίζει  χορδή στο εσωτερικό σφαιρικά ομοιογενούς σώματος. Εισαγωγή στις δυνάμεις επαφής (τριβή και τάση νήματος)  

ΤΜΗΜΑ-Β : Πτώση σε ομογενές βαρυτικό πεδίο με αντίσταση αέρα -cυ, οριακή ταχύτητα. Δύναμη Lorentz σε κινούμενο φορτίο (q, u ) παρουσία ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β και ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου Ε, κυκλοτρονική συχνότητα. Εφαρμογές του 2ου νόμου του Νεύτωνα με χρήση πολικών συντεταγμένων: (i) κίνηση στο εσωτερικό ημισφαιρικής επιφάνειας, (ii) ολίσθηση από την κορυφή λείας σφαιρικής επιφάνειας (γωνιακή ταχύτητα, δύναμη από την επιφάνεια).

8ο Μάθημα, 16/10/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α :   Κίνηση σώματος στο εσωτερικό ημικυλινδρικής επιφάνειας (αρμονική ταλάντωση για μικρές γωνίες, κίνηση για πεπερασμένες γωνίες), Απλό εκκρεμές, Απλή μηχανή του Atwood και παραλλαγή μηχανής του Atwood (συστήματα τροχαλιών)

ΤΜΗΜΑ-Β : Εισαγωγή στα θέματα της τριβής και της τάσης νημάτων. Εφαρμογές: i) Μέγιστη ασφαλής ταχύτητα αυτοκινήτου σε κυκλική διαδρομή ακτίνας R, και σε οδόστρωμα με κλίση θ και συντελεστή τριβής μ, ii) εξέλιξη της κίνησης συστήματος κεκλιμένου επιπέδου, χαρτόνι και ξύλινος κύβος, iii) Σύστημα μαζας m1 σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ με συντελεστές τριβής (μ_s , μ), συνδεμένο με νήμα-τροχαλία και μάζα m2: ελάχιστη τιμή της m2 για να προκληθεί κίνηση, εύρεση επιτάχυνσης.

9ο Μάθημα, 17/10/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Σύστημα 2 μαζών και 2 κεκλιμένων επιπέδων με διαφορετικές γωνίες και διαφορετικούς συντελεστές τριβής (μελέτη όλων των δυνατών καταστάσεων ως προς το λόγο των μαζών. Στάσιμη κατάσταση του νήματος της στάθμης στην περιστρεφόμενη περί τον άξονά της Γη.

ΤΜΗΜΑ-Β : Ολίσθηση αλυσίδας σε ομογενές πεδίο βαρύτητας, από οριζόντιο τραπέζι με και χωρίς τριβή. Συνθήκη ακινησίας, εξισώσεις κίνησης.

10ο Μάθημα, 21/10/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Απόκλιση του νήματος της στάθμης, από τη γεωμετρική κατακόρυφο, στην περιστρεφόμενη περί τον άξονά της Γη. Ολίσθηση αλυσίδας σε ομογενές πεδίο βαρύτητας, από οριζόντιο τραπέζι με τριβή. Μέγιστη ασφαλής ταχύτητα για κυκλική πορεία σε στροφή ακτίνας R, κλίσης θ και συντελεστή τριβής μ. Συνολική τριβή ράβδου ανομοιογενούς πυκνότητας σε δάπεδο με μεταβλητό συντελεστή τριβής, τοπικά. Εισαγωγή στο Έργο Δύναμης. Παραδείγματα υπολογισμού επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων F.dr.

ΤΜΗΜΑ-Β : Σύστημα 2 μαζών και 2 κεκλιμένων επιπέδων με διαφορετικές γωνίες και διαφορετικούς συντελεστές τριβής (μελέτη όλων των δυνατών καταστάσεων ως προς το λόγο των μαζών). Απλή μηχανή του Atwood και παραλλαγή μηχανής του Atwood (συστήματα τροχαλιών). Συνολική τριβή ράβδου ανομοιογενούς πυκνότητας σε κανάλι με μεταβλητό συντελεστή τριβής.

11ο Μάθημα, 23/10/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας. Ισχύς παρεχόμενη από δύναμη P= F.υ. Ισοδύναμοι ορισμοί διατηρητικών δυνάμεων: (α) Έργο ανεξάρτητο ενδιάμεσων διαδρομών, (β) Μηδενικό έργο σε κάθε κλειστή διαδρομή, (γ) Δυναμικό πεδίο μηδενικού στροβιλισμού. Η έννοια της μερικής παραγώγου. Ο Τελεστής της Βαθμίδας (ανάδελτα, grad) για βαθμωτή συνάρτηση. Ο Τελεστής του Στροβιλισμού (rot, curl) για διανυσματική συνάρτηση, ως όριο Κυκλοφορίας ανά στοιχειώδη επιφάνεια, και η μορφή του σε Καρτεσιανές συντεταγμένες (χωρίς απόδειξη).

ΤΜΗΜΑ-Β : Εργο - ενέργεια. Έργο δυναμης σε μια διάσταση και σε τρεις διαστάσεις. Παραδείγματα υπολογισμού επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων F.dr. Ισχύς δύναμης. Διατηρητικές δυνάμεις, ιδιότητες. Μαθηματικά εργαλεία για τη μελέτη διατηρητικών δυνάμεων: (α) η μερική παράγωγος, (β) ο τελεστής ανάδελτα, και κλίση (ή βαθμίδα, grad f) βαθμωτής συνάρτησης πολλών μεταβλητών f=f(x,y,z), (γ  ) κατευθυνόμενη παράγωγος και ολικό διαφορικό βαθμωτής συνάρτησης.

12ο Μάθημα, 24/10/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Η μορφή του Στροβιλισμού σε Καρτεσιανές συντεταγμένες (απόδειξη). Τρίτος ισοδύναμος ορισμός διατηρητικής δύναμης: Δύναμη με μηδενικό-Στροβιλισμό. Παράδειγμα δύναμης που είναι διατηρητική υπό συνθήκες. Εφαρμογή: όλες οι κεντρικές δυνάμεις, δηλ. δυνάμεις της μορφής F(r)=f(r)(r/r), είναι διατηρητικές (υπόδειξη της απόδειξης). 

ΤΜΗΜΑ-Β : Σύνοψη των ισοδύναμων ορισμών για τις Διατηρητικές δυνάμεις.  Ορισμός του Στροβιλισμού μίας διανυσματικής συνάρτησης και γεωμετρική ερμηνεία. Παραδείγματα πεδίων δυνάμεων με μηδενικό ή μεγάλο στροβιλισμό. Παραδείγματα διατηρητικών δυνάμεων, κεντρικές δυνάμεις. Δύναμη παγκόσμιας έλξης από βαρυτική δυναμική ενέργεια.

13ο Μάθημα, 30/10/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Η έννοια των δυναμικών γραμμών, διαφορικές εξισώσεις των δυναμικών γραμμών. Παράδειγμα δυναμικών γραμμών: πεδίο βαρύτητας. Η συνάρτηση της  Δυναμικής Ενέργειας των διατηρητικών δυνάμεων και η δύναμη ως αρνητική βαθμίδα της Δυναμικής Ενέργειας. Υπολογισμός της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας από τη δύναμη με βάση σημείο και τιμή αναφοράς. Γενική περιγραφή κίνησης σε 1-διάσταση μέσω αναλυτικής μελέτης της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας U=U(x) (έναρξη συζήτησης)

ΤΜΗΜΑ-Β : Έργο επιταχύνουσας δύναμης και κινητική ενέργεια. Θεωρήματα διατήρησης, διατήρηση μηχανικής ενεργείας (για διατηρητικές δυνάμεις). Εφαρμογές των θεωρημάτων διατήρησης στη μελέτη μηχανικών συστημάτων, εφαρμογή της συνθήκης διατηρησιμότητας μιας δύναμης, και τη συνθήκη για να είναι κεντρική μια δύναμη. Παράδειγμα υπολογισμού της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας από τη δύναμη. Γενική περιγραφή κίνησης σε 1-διάσταση μέσω αναλυτικής μελέτης της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας U=U(x) (έναρξη συζήτησης).

14ο Μάθημα, 31/10/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α : Κίνηση σε 1-διάσταση με γνωστή δυναμική ενέργεια U=U(x). Σημεία ισορροπίας (ευσταθούς, ασταθούς), σημεία αναστροφής, Υπολογισμός της περιόδου φραγμένης κίνησης. Αρμονική συμπεριφορά κοντά σε σημεία ευσταθούς ισορροπίας. Υπολογισμός της δυναμικής ενέργειας για κεντρική δύναμη, βαρυτικό δυναμικό.

ΤΜΗΜΑ-Β : Διαγράμματα δυναμικής ενέργειας, περιγραφή της κίνησης ενός σώματος δεδομένου της U(x) και τις αρχικές συνθήκες. Σημεία ισορροπίας και χαρακτηρισμός τους (ευσταθή, ασταθή, αδιάφορος ισορροπία). Όρια της κίνησης ή σημεία αναστροφής. Μελέτη κίνησης υπό την επίδραση U(x) της μορφής Ax²e^-x/a.

15ο Μάθημα, 04/11/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α : Ταχύτητα διαφυγής από βαρυτικό πεδίο. Μικρή αναφοράς στις Μελανές Οπές και τον Ορίζοντα Γεγονότων. Σωματίδιο κινούμενο εγκάρσια σε δύο ελατήρια (δυναμική ενέργεια με ένα σημείο ασταθούς ισορροπίας και δύο συμμετρικά σημεία ευσταθούς ισορροπίας). Μικρή αναφορά στη δυναμιkή ενέργεια Lennard-Jones. Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς, Πράξεις και Ιδιότητες Μιγαδικών, σχέση του Euler και πολική αναπαράσταση των Μιγαδικών αριθμών.  

ΤΜΗΜΑ-Β : Παράδειγμα κίνησης σε δυναμικό της μορφης Αx-12 - Bx-6 (δυναμικο Lennard-Jones). Κίνηση κοντά σε μια θέση Ευσταθούς ισορροπίας (αρμονική ταλάντωση). Εισαγωγή στους Μιγαδικούς αριθμούς (φανταστική μονάδα, ορισμός μιγαδικού και συζυγούς, πράξεις μεταξύ μιγαδικών και μέτρο μιγαδικού, μιγαδικές συναρτήσεις, μιγαδικό εκθετικό, σχέση Euler, καρτεσιανή και πολική αναπαράσταση μιγαδικού αριθμού).

16ο Μάθημα, 06/11/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Επίλυση του Απλού Αρμονικού Ταλαντωτή με τη βοήθεια των Μιγαδικών συναρτήσεων. Μικρή Εισαγωγή στις Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ν-στής τάξης με σταθερούς Συντελεστές (Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο, Γενική Λύση Ομογενούς, Γενική Λύση Μη-Ομογενούς, Σταθερές Ολοκλήρωσης και Αρχικές Συνθήκες). Επίλυση του Απλού Αρμονικού Ταλαντωτή (ΑΑΤ) με απόσβεση Ιξώδους τριβής =-rυ.  Ισχυρή, Κρίσιμη και Ασθενής Απόσβεση.

ΤΜΗΜΑ-Β : Mεθοδολογία επίλυσης των Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων ν-στής τάξης με σταθερούς Συντελεστές (Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο, Γενική Λύση Ομογενούς, Γενική Λύση Μη-Ομογενούς). Επίλυση του Απλού Αρμονικού Ταλαντωτή μέσω του Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου, ισοδυναμία με την επίλυση με χωριζόμενες μεταβλητές. Επίλυση του Απλού Αρμονικού Ταλαντωτή (ΑΑΤ) με απόσβεση Ιξώδους τριβής =-rυ.  Ισχυρή, Κρίσιμη και Ασθενής Απόσβεση.

17ο Μάθημα, 07/11/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α :  Επίλυση του Απλού Αρμονικού Ταλαντωτή με σταθερή τριβή -μmg (επίλυση ανά ημιπερίοδο (σταθερού προσήμου της τριβής) [ διατήρηση της συχνότητας ταλάντωση ω₀=√(s/m), απώλεια πλάτους ανά ημιπερίοδο].

ΤΜΗΜΑ-Β : Ταλαντωτής με ασθενή απόσβεση και αρμονική εξωτερική διέγερση. Γενική Λύση ως άθροισμα Μεταβατικής και Μόνιμης κατάστασης. Προσδιορισμός της μόνιμης λύσης με τριγωνομετρικές συναρτήσεις (πλάτος και φάση). Πλάτος εξαναγκασμένης ταλάντωσης, συντονισμός πλάτους (μέγιστη απόκριση), καμπύλες συντονισμού. 

18ο Μάθημα, 11/11/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α : Παράγοντας Ποιότητας ταλαντωτή με ασθενή απόσβεση. Ταλαντωτής με ασθενή απόσβεση και (αρμονική) εξωτερική διέγερση. Μεταβατική και Μόνιμη λύση. Προσδιορισμός της μόνιμης λύσης με τριγωνομετρικές συναρτήσεις (πλάτος και φάση). Το αντίστοιχο ηλεκτρικό πρόβλημα και έναρξη της συζήτησης για επίλυση με μιγαδικές παραστάσεις.

ΤΜΗΜΑ-Β : Πλάτος εξαναγκασμένης ταλάντωσης, συντονισμός πλάτους (μέγιστη απόκριση), συντονισμός πλάτους ταχύτητας. Ταλάντωση με απόσβεση: ενεργειακή μελέτη, ποσοστό απώλειας ενέργειας ανά περίοδο και συντελεστής ποιότητας Q.

19ο Μάθημα, 13/11/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α : Eπίλυση, με μιγαδικές παραστάσεις, του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή με ασθενή απόσβεση κα διαρκή αρμονική διέγερση. (Παράλληλη μελέτη των ισοδύναμων ηλεκτρικών και μηχανικών συστημάτων). Καμπύλες συντονισμού των πλατών απομάκρυνσης-ταχύτητας και φορτίου-ρεύματος για τα αντίστοιχα συστήματα. Οξύτητα συντονισμού και Παράγοντας Ποιότητας. 

ΤΜΗΜΑ-Β : Μελέτη απόκρισης συχνότητας με ένα ηλεκτρικό σύστημα (κύκλωμα R-L-C σε σειρά) σε αναλογία με το βασικό μηχανικό σύστημα. Εύρεση μόνιμης λύσης του αρμονικού ταλαντωτή (φορτιο του πυκνωτή) με τη χρήση μιγαδικών συναρτήσεων. Μιγαδικά πλάτη (ρεύματος κτλ) και σύνθετη μιγαδική αντίσταση (εμπέδηση, impedence). Καμπύλες συντονισμού, Παρεχόμενη ισχύς από τον εξωτερικό διεγέρτη. Οξύτητα συντονισμού και Παράγοντας Ποιότητας. 

20ο Μάθημα, 14/11/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α : Ισχύς παρεχόμενη από αρμονικό διεγέρτη σε ταλαντωτή με ασθενή απόσβεση [P(t)=F(t)υ(t),  P(t)=V(t)I(t)],  μέση χρονική ισχύς <P>=(I₀V₀/2)cosφ και συχνότητα συντονισμού μέσης Ισχύος. Παράδειγμα μηχανικού εξαναγκασμένου ταλαντωτή: Απλό μοντέλου σεισμογράφου και το σεισμογράφημα ως γενική λύση του προβλήματος για (α) διαρκή και (β) αποσβενόμενο σεισμό.

ΤΜΗΜΑ-Β : Ασκήσεις: α) ταλαντωτής σε κατάσταση κρίσιμης απόσβεσης, β) (υπο-)περιπτώσεις ταλαντωτή με απόσβεση b->0 και εξωτερική διέγερση, και με αποσβεση b χωρις εξωτερική διέγερση.

21ο Μάθημα, 18/11/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α : Παραδείγματα αρμονικών ταλαντωτών: (α) Κύλιση χωρίς ολίσθηση συστήματος Ελατηρίου-Κυλίνδρου, (β) Απλό μοντέλο ταλάντωσης "ηλεκτρονικού νέφους" ατόμου Υδρογόνου. Εισαγωγή στα Μη-Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Μεταφορική μη-αδρανειακότητα, αδρανειακή ψευδο-δύναμη d'Alambert. Εφαρμογή: νήμα της στάθμης σε σταθερά επιταχυνόμενο όχημα (α) κατάσταση ισορροπίας ως προς το όχημα, (β) ταλαντώσεις μικρών γωνιών, περί την κατάσταση ισορροπίας.   

ΤΜΗΜΑ-Β : Επίλυση του προβλήματος του μηχανικού αρμονικού ταλαντωτή με κινητική τριβή σταθερού μέτρου. Εισαγωγή στα Μη-Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Μεταφορική μη-αδρανειακότητα, αδρανειακή ψευδο-δύναμη. Εφαρμογή: νήμα της στάθμης σε σταθερά επιταχυνόμενο όχημα (α) κατάσταση ισορροπίας ως προς το όχημα, (β) ταλαντώσεις μικρών γωνιών, περί την κατάσταση ισορροπίας.   

22ο Μάθημα, 21/11/24 (1 ώρα)

ΤΜΗΜΑ-Α+Β : Εφαρμογές στη μεταφορική μη αδρανειακότητα: (i) σώμα ολισθαίνει σε οριζόντια επιταχυνόμενο κεκλιμένο, παρουσία τριβής, (ii) Ιδανική μηχανή του Atwood μέσα σε κατακόρυφα επιταχυνόμενο ανελκυστήρα (περιπτώσεις a0 < g και a0 > g).

23ο Μάθημα, 25/11/24 (2 ώρες)

ΤΜΗΜΑ-Α : Περιστρεφόμενο μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς, με σταθερή αρχή. Ταχύτητα και επιτάχυνση ως προς Αδρανειακί και Μη-Αδρανειακό σύστημα αναφοράς, Αδρανειακές (ψευδο-)δυνάμεις (Φυγόκεντρος,  Coriolis, Εγκάρσια). Παράδειγμα: (α) ακινησία πάνω σε ομαλά περιστρεφόμενη πλατφόρμα.    

ΤΜΗΜΑ-Β :