General

Το μάθημα είναι μια μετροθεωρητική εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Περιλαμβάνει:

• Εισαγωγή στη Θεωρία Μέτρου (σ-άλγεβρες, μέτρα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωση ως προς μέτρο).
• Οριακά θεωρήματα: μονότονης σύγκλισης, κυριαρχημένης σύγκλισης και λήμμα Fatou.
• Κατανομή τυχαίων μεταβλητών, τρόποι σύγκλισης, ασθενής και ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών, χαρακτηριστικές συναρτήσεις και το κεντρικό οριακό θεώρημα.
• Θεώρημα Radon-Nikodym και ο ορισμός της Δεσμευμένης Μέσης Τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής ως προς μια σ-άλγεβρα και οι θεμελιώδεις ιδιότητές της.
• Εισαγωγή στα διακριτά martingales. Εφαρμογές.

Axioms of probability: sigma-fields, probability measures, probability spaces; Sequences of events, Borel-Cantelli lemma, independence, inverse Borel-Cantelli lemma; Random variables and random vectors; Expectation as an integral with respect to a probability measure; Fatou's lemma, monotone convergence theorem, dominated convergence theorem; Multivariable normal distribution; Characteristic function; Modes of convergence: almost sure, in probability, in Lp, in distribution; Weak and strong laws of large numbers; Borel and Glivenko-Cantelli theorems; P. Lévy theorem; Limit theorems and applications; Radon-Nikodym theorem; Conditional expectation; Discrete time martingales; Applications in special topics.

Ώρες διδασκαλίας & αίθουσες / Time & Place of Lectures 

• Τετάρτη 12:45-14:30 Αίθουσα 101, Νέα Κτίρια
• Παρασκευή  12:45-14:30 Αίθουσα 106, Νέα Κτίρια 

• Δημήτρης Χελιώτης: Ένα δεύτερο μάθημα στις Πιθανότητες, Συνδ. Ελλ. Ακ. Βιβλιοθηκών, 2016 (Κάλλιπος), διαθέσιμο εδώ.

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991.

Θεωρία Μέτρου

• Gerald B. Folland, Real Analysis: modern techniques and their applications, 2nd ed, Wiley, 2007.
• Michalis Papadimitrakis: Notes on Measure Theory, 2004, διαθέσιμο εδώ.
• Halsey Royden and Patrick Fitzpatrick: Real Analysis, Fourth Edition, Pearson Education Inc., 2010.
• Γιάννης Σαραντόπουλος: Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου και Ολοκλήρωσης, 2008, διαθέσιμο εδώ.

Θεωρία Πιθανοτήτων

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991.
• Patrick Billingsley: Probability and Measure, Wiley, 1995, διαθέσιμο εδώ.
• Leo Breiman: Probability, SIAM, 1992.
• Kai-Lai Chung: A Course in Probability Theory, Third Edition, Academic Press, 2001.
• Amir Dembo: Probability Theory notes, 2016, διαθέσιμο εδώ.
• Richard Durrett: Probability: theory and examples, 5rd ed, Duxbury Advanced Series, 2005, διαθέσιμο εδώ.
• S.R.S. Varadhan: Probability Theory (Courant Lecture Notes), AMS 2001.
• Δημήτρης Χελιώτης: Ένα δεύτερο μάθημα στις Πιθανότητες, Συνδ. Ελλ. Ακ. Βιβλιοθηκών, 2016 (Κάλλιπος), διαθέσιμο εδώ.
• Ιστότοπος: http://www.probability.net